Hola, hace tiempo desarrollé una web parecida para una universidad, me parece muy interesante la idea. Le puedo ejecutar el proyecto completo en 10 días, desde la base de datos que almacena las preguntas, la puntuación, los usuarios, etc.. hasta el diseño del fronteend en ReactJs, con pantallas agradables estilo games y compatibles con todos los dispositivos (responsive). Como plus y por un precio muy generoso podríamos agregar una App para Android y iOS que sería un canal mucho más visitado.
Quedo al tanto, le puedo hacer una oferta mucho mejor que la que usted propone.
Saludos.